人們以為數學很困難,那是因為他們不知道生活有多複雜。首圖來源:Shutterstock

【我們為什麼挑選這篇文章】世界上曾經有數學家想解開 π 的世紀難題,還把腦筋動到法律頭上!堅持自己的解法才正確,究竟有什麼問題?(責任編輯:莊彙翌)

作者:賴以威|國立臺灣師範大學電機工程學系副教授

圓周率 π≈3.14 這應該是全臺灣人都學過,被視為「常識」的數學知識。阿基米德早兩千兩百多年前就求出這個近似值了。但是呢,世界就是這麼的無奇不有,兩百多年前在美國差一點通過一條法案,裡面的圓周率不是 3.14,而是 3.2

故事發生在 1897 年印第安那州,提案者古德溫(Goodwin)宣稱他發現了一個新的數學真理,並且願意很慷慨的不收取任何費用,免費提供給印第安那州使用,只要州議會願意正式通過這條法案。

數學真理卻要靠著法律條文來證明,這個邏輯就讓人有些摸不著頭腦。如深入研究法案,我們會發現古德溫其實不是想講圓周率,而是針對經典數學難題「化圓為方」,他想透過法案,讓法院認證他的解法

千古名題:化圓為方可能嗎?

給定一個圓,利用尺規做圖,做出一個面積跟圓一樣大的正方形。

這問題從古到今吸引了許多人前仆後繼,希臘人甚至發明了單字 τετραγωνιζειν ,意思是「化圓為方者」,用來描述這些努力想破解這個問題的人們。化圓為方迷人之處在於,題目很容易理解,感覺好像也有機會做出來,可偏偏一直以來都沒人成功。

如果被你破解了,那恭喜,這下你能在數學史上留名青史啦!所以歷史上不乏名人來挑戰化圓為方,包括英國哲學大師,《利維坦》作者霍布斯(註一)。關於化圓為方,連但丁都把它作為經典名著《神曲》的結尾:

❛ 幾何學家嘗試化圓為方,卻又徒勞無功時,便會懷疑它是否仍未掌握某些原理。我剛看到這幅景象時,也有類似的想法 ❜⠀⠀
—《神曲.天堂篇》第 33 首

由於每隔一陣子,就會有人宣稱他們破解了化圓為方,因此在 1775 年,法國科學學會做出決議,表達不再審核任何化圓為方的研究同時被列為拒絕往來戶的題目還有永動機。然而直到現在都有人在做永動機,就不難理解門檻更低的化圓為方會那麼受歡迎了。

「都是數學問題啊,為什麼不能好好討論,要拒絕審核呢?」

如何證明化圓為方,專家各有理論?

或許有人會這樣想。的確,好好討論都沒問題,可偏偏很多宣稱化圓為方的人都會犯一些一目了然的錯,比方說霍布斯在處理化圓為方時,就順便講了「圓周率是 3 又 1/8」。另一位化圓為方的狂熱份子約翰.戴維斯則認為圓周率是 19/6,差不多是 3.166。

人們問他為什麼圓周率是這樣,他只回答:「大家都認為蘋果是酸的,所以蘋果就是酸的,這就是證明。」

數學家迪摩根(註2)超級看不慣這些人,他在著作《矛盾集(Budget of Paradoxes)》裡大酸特酸:

「化圓為方很容易,要說服數學家就難了。」

「……就像達爾文描述的蜘蛛。他總是在繞圈圈;每當他編出來的理論被推翻了,他又會重頭再編一個。」

他還曾經這麼戰過一個化圓為方者:「他沒有瘋,瘋子只是根據錯誤的前提作正確的推理;但史密斯先生完全不懂推理,而且他根本沒有任何前提。」

1882 年,數學家林德曼證明了圓周率的某種特性,間接關門了化圓為方這個問題,證明它不可能被解出來

劇情回到一開始的圓周率法案。提案者古德溫其實就是想靠著法案通過,來宣稱自己破解了化圓為方的難題。它的法案一開始被送到金融委員會,後來被轉到運河委員會,然後又被扔到了教育委員會。總算回到了專業手上,應該沒問題了吧。

然後它就被通過了……被通過的一大關鍵,是古德溫宣稱它的解法被刊登在《美國數學月刊》。這的確也是事實,只是很妙的,在他的文章最末有免責聲明,表示不對古德溫的解法背書。但恐怕教育委員諸公們沒看這麼細,只覺得有《美國數學月刊》背書,便讓法案通過了。

還好,數學之神真的存在。法案通過當天,普渡大學的數學教授沃爾多剛好為了補助,前來拜訪委員會。當時有議員拉著他介紹這條法案,還想介紹兩位數學天才彼此認識一番。沃爾多立刻拒絕,他表示「我看過的瘋子已經夠多了」。後來,沃爾多努力幫委員們惡補數學,媒體也開始注意這件事。終於,法案遭到否決,被無限期擱置。化圓為方陣營想靠法律認證的策略以失敗告終

早就被證明不可能的問題,卻一直有人認為可以。乍看之下非常荒謬,可換個角度想,生活中有很多事情也是類似的情況。真相可能是 A,卻有一堆人認為是 B 或 C。差別只在於化圓為方可以經過數學證明不可能。生活中很多事情更加複雜,是無法被嚴格證明。這也再次驗證了數學家馮.諾伊曼的經典名言:

「人們以為數學很困難,那是因為他們不知道生活有多複雜

註 1:霍布斯的另一個數學「傑作」是關於無限小概念的爭論,有興趣的朋友可以參考《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》這本書。
註 2:對,就是迪摩根定律(De Morgan’s laws)的那位迪摩根。

資料來源
大衛.布拉特納 (1999)。《神奇的 π 》,臺北市:商周出版

(本文經合作夥伴 科技大觀園 以 CC 3.0 規範授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題,作者為國立臺灣師範大學電機工程學系副教授賴以威,原文標題為〈圓周率 ≈3.14 還是 3.2,經典名題「化圓為方」可能嗎?〉。首圖來源:Shutterstock)