如何證明質數有無限多個?從這 8 道數學題,訓練 6 種解決問題的思維模式

6 thinking methods

【我們為什麼挑選這本書】在職場上、日常生活中,我們都需要用邏輯思維解決問題。擁有好的邏輯思維,可以提升解題效率,讓工作、生活更順暢。《三個邏輯學家去酒吧:燒腦謎題 100 道,跳脫常規,重組思路,玩出新奇腦洞!》一書指出 6 種解決問題的思維模式,並提供 100 道題目給讀者練習。下文摘錄 8 道題目,讓我們學習邏輯思維的技術。(責任編輯:郭家宏)

這本書能來到你的手上,我相信絕非偶然。你可能很喜歡數學,一定也很愛思考。所以我想提前給你一些建議,這樣你就不會對接下來的謎題感到挫折。雖然我無法給大家提供普遍適用的解答策略──這種策略根本不存在,但還是有些關於如何解題的建議供你參考。如果你讀過我的其他書,那麼你可能會對其中的一、兩個建議感到熟悉,因為其他書裡有一整篇章節,是關於如何找出充滿創造力的解答方法。我在這裡將更詳盡補充說明這些建議。

解決問題的 6 種思維模式

一、不要放棄,堅持到底

如果你想解決一道難題,首先,你該把這個題目從頭到尾徹底思考一遍。就算你毫無頭緒,也不要馬上去翻答案,給自己多一點時間和耐心。你可以暫時將這道謎題放在一邊,先試試下一題,轉換一下思維,或許你就會突然開竅了。或者隔天早上刷牙時,腦中也有可能會冒出令人驚喜的解題靈感。

二、仔細分析題目文本

解題之前,你必須理解這道題目的意思。當你閱讀題目文本,遇到不好理解的地方時,就該注意了。題目中的這些「絆腳石」經常會提供有用的提示。舉一個和這本書中「第 12 題」相似的題目為例:

問題 1:

兩個俄羅斯數學家在飛機上偶遇。其中一個數學家問道:「你是不是有三個兒子?他們現在多大了啊?」

另一個數學家回答:「他們年齡的乘積是 36,年齡的總和正是今天的日期。」提問的數學家說:「呃,這些條件還不夠。」「噢,對了,我忘說了,我大兒子有一隻狗。」那麼,數學家這三個兒子的年齡分別是幾歲呢?

為什麼會提到狗?你也覺得這一點很奇怪吧?你再仔細想一下,就會發現這裡也可以用一隻貓、一台遊戲機或一種頭髮的顏色來替代這隻狗。這句話之所以看起來很重要,是因為夾帶了其他的細節。至於怎麼解題,在這裡我先不多透露。

三、儘量簡化問題

我們常常會遇到有些數值很大,或者需要我們分析全部情況的題目。例如,有一百個說謊者和一百個誠實的人坐在一張桌子旁,他們在說一些奇怪的事情。要解決這類問題非常困難。你可以先嘗試簡化的版本──桌子旁邊坐著兩個說謊者和兩個只說真話的人──在簡化版的解題過程中,你或許能發現其他方法來解決更大的問題。

四、另闢蹊徑

離開舒適圈,放棄熟悉的思考路徑,是催生創造性想法最重要的方法之一。這一點在數學中通常很難實現,因為我們習慣運用自己學過的解答技巧。就像坐火車去旅行一樣,我們只能到達那些鋪有鐵軌的地方。換個視角或改變問題的形式,應該會很有幫助。一個與數字有關的題目,也可以從幾何的角度來解答。舉一個例子:

問題 2:

某個男人為了在下午兩點到達山頂的小屋,他在早上十點的時候從山谷出發,開始徒步遠足。到達山頂後,他在小屋裡住了一晚。第二天早上十點,這個男人又出發走回山谷。由於是下坡,他在下午兩點前就抵達山谷。試論證,在這兩天內,早上十點到下午兩點之間,在哪一個時間點上,這個徒步者恰好處在同一高度位置?

我們對山的高度、坡度和徒步者的速度一無所知。儘管如此,只要把這個問題改動一下,解題的方法就出來了。

兩個男人從早上十點時開始徒步遠足,最多花了四個小時。一個人從山谷向山頂走,另一個人從山頂向山谷走。試論證,早上十點到下午兩點之間,在哪一個時間點上,這兩個徒步者恰好處在同一高度位置?

解題方式就很簡單,將高度拉成直線,你只需要求出兩個徒步者在遠足途中相遇的瞬間即可。

再舉一道題為例:

問題 3:

1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 97 + 98 + 99 + 100 的總和是多少?

我們當然可以用心算或計算機來算出答案,但年輕的數學家高斯(Carl Friedrich Gauss)早就知道一種更好的方法。他將數字重新整理如下:

(1 + 100)+(2 + 99)+⋯+(50 + 51)的總和是多少?

我們可以直接得出結果為 101×50 = 5050。

最後再舉一個例子。這是一個關於日曆的題目,要解這道題有一個非常特別的訣竅。

問題 4:

某個男人有兩個木製立方體,可以用來排出每個月從 01 號到 31 號的日期。請問這兩個立方體上有哪些數字?

要分析這個問題相對簡單,因為每個立方體最多只能放六個數字,代表我們需要將 0 到 9 的數字合理分配到這兩個立方體上。問題是,該如何分配?一個月的日期從 01 號開始,到 31 號結束,所以無論如何都會有一個 11 號和一個 22 號,即兩個立方體上都必須要有數字 1 和數字 2。因為 1 到 9 有九個數字,而一個立方體上只能放六個不同的數字,為了排出從 01 號到 09 號的日期,兩個立方體上也必須都要有數字 0。

現在兩個立方體上已經有六個面被數字 0、1、2 佔據,還剩下六個面的空位,可是還有 3、4、5、6、7、8、9 這七個數字還沒放上去啊!如果我們在第一個立方體寫上 0、1、2、3、4、5,第二個立方體寫上 0、1、2、6、7、8,那數字 9 就沒位置了,怎麼辦?難道答案根本不存在嗎?

不,答案只有一個,而且我們已經找到了──需要數字 9 的時候,把數字 6 倒過來就好了!如此,這個立方體日曆的謎題就解開了。

五、別被題目牽著鼻子走

有時候解一道題,最怕就是答案可能多到無法計算。例如下面這一題:

問題 5:

請找出所有包含數字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 的十位數的質數(只能被 1 和自身整除的數)。

如果你稍微了解組合數學,就會明白這十個數字可以組合成三百多萬個不同的數。該如何檢驗每一個數是不是質數?到底是誰想出這樣一道題目?這種題型最有可能的情況是,要麼只有一個答案,要麼根本就沒有答案。我們這道題目就是屬於後者。

有一個規則可以幫助我們解決這道難題:所有由這十個數字組成的十位數,字面數字相加都是 45(= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ 7 + 8 + 9)。45 不僅可以被 3 整除,還可以被 9 整除,所以由這十個數字組成的十位數都可以被 3 和 9 整除,由此可知它們全都不是質數。

六、間接取代直接

上面的題目是關於三百多萬個不同的數,這裡我們再進一步到無限多的數。

問題 6:

試證明質數有無限多個。

我們可以嘗試把所有質數逐一列舉,也可以確定這種做法永遠沒完沒了,而我們永遠也無法證明質數有無限多個。面對這種問題,我們不能直接解決,而是要從間接著手,也就是繞過來解決。闖空門的人基本上都是這麼做的,他們不會撬開房屋大門上厚重的鎖,而是繞到房屋的背面,在那裡找到比較好開的地下室窗戶。

我們可以反駁論點,用這種非直接的方式來證明論點。由於數學的邏輯一致性,間接證明是完全可行的。一個論點要麼正確,要麼錯誤,互相矛盾的論點不可能同時為真。因此,我們假設質數的數量是有限的,更確切地說有 n 個質數。我們將這些質數列為 P1、P2、P3⋯Pn,並且相乘:

P1 × P2 × P3 × ⋯ × Pn

我們得到了一個有趣的自然數,它可以被 n 個質數整除,即 P1、P2、P3⋯Pn 裡的任何一個整除,因為這個自然數是所有這些質數的乘積。真正的重點來了,我們在 n 個質數的乘積再加上 1:

P1 × P2 × P3 × ⋯ × Pn + 1

所得之數也是一個自然數,然而它不能被 n 個質數裡的任何一個整除。更確切地說,它在做除法時總會剩下多餘的 1。因此,這個自然數本身即是質數,它不包含在 P1、P2、P3 或 Pn 裡面,也不是兩個或更多質數的乘積。所以,這個質數並不屬於前面列出的 n 個質數,這與我們只存在 n 個質數的假設互相矛盾。由此可證,「質數的數量是有限的」這個假設是錯誤的。反之即意味著質數的存在有無限多個。

我知道,間接證明看起來有些奇怪,而且必須要能抓準論點的對立面。但我們不得不承認,這個方法十分有用。

問題摘選:如何秤出巧克力的重量?

某巧克力工廠生產的一款全脂牛奶巧克力片正好重 100 公克。融化的巧克力會被適量分流到模具中,感謝現代科技,要做到這一點完全沒有問題。然而機器有時也會出現偏差,就像下面這種情況一樣。

由於機器設定出現錯誤,導致有一整批的巧克力片都超重了 5 公克。還好,廠長很快就發現了這個錯誤,並且將機器重新校準好了。

他將裝有超重巧克力片的托盤推進了倉庫。因為對這個錯誤感到太生氣,結果他忘記自己把這些重 105 公克的巧克力片放在哪裡了。倉庫裡總共有十個托盤,只有一個托盤上的巧克力片重量和其他的不一樣。你的任務就是:

問題 7:

找出那一批 105 公克重的巧克力片。你可以從托盤中取出多少巧克力片放在秤上都沒關係,這個電子秤的精確度可以到 0.001 公克,但你只能使用一次。

答案:

從第一個托盤取出 1 片巧克力,從第二個托盤取出 2 片,從第三個托盤取出 3 片,以此類推,直到從第十個托盤取出 10 片巧克力。將這總共 55 片的巧克力全部放在秤上,然後將秤上顯示的重量減去(55 × 100 =)5500 克。結果將會說明哪個托盤裝有超重的巧克力片。如果減去之後剩 5 克,那就是第一個托盤超重;如果是 10 克,就是第二個托盤;以此類推,如果是 50 克就是第十個托盤。

問題摘選:聰明的邏輯小矮人

邏輯小矮人生活在黑暗的洞穴裡,每個人要麼戴著白色帽子,要麼戴著黑色帽子。他們也不知道總共有多少人住在這山洞中。小矮人每年都有一次機會可以離開洞穴,執行一項任務。如果順利完成任務,他們就可以獲得自由;如果任務失敗,他們就必須回到黑暗的洞穴,等待隔年機會來臨。

今年的任務:小矮人得一個挨著一個排隊,戴著白色帽子的小矮人站一邊,戴著黑色帽子的小矮人站在另一邊。但是小矮人看不到自己帽子的顏色,除此之外,他們既不可以互相說話,也不可以用任何方式提示或相互告知帽子的顏色,例如用手和眼睛,還有使用鏡子之類的花招都不允許。

不過小矮人可以充分發揮他們的智慧和邏輯推理能力,而且他們幾乎立刻就完成了任務。

問題 8:

小矮人既不可以說話,也看不到自己的帽子,但他們還是依據帽子的顏色排成了一行,一邊是黑色,一邊是白色。他們究竟是如何做到的?

答案:

第一個小矮人站在所有人的前面,第二個小矮人站在他旁邊,剩下的小矮人再一個接一個站進隊伍中。若要根據帽子顏色完成分類,小矮人們必須遵守兩個規則:

1、如果這兩個小矮人的帽子是同一種顏色,新加入的小矮人就站在他倆的右邊或左邊。

2、當面前的小矮人已經分別戴著黑色和白色的帽子,新加入的小矮人就站在黑色帽子和白色帽子小矮人的中間。

這樣,小矮人就算完全不說一句話,也可以根據帽子的顏色來排隊。

(本文書摘內容出自《三個邏輯學家去酒吧:燒腦謎題 100 道,跳脫常規,重組思路,玩出新奇腦洞!》,由 日出出版 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題。首圖來源:Pxhere CC Licensed

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