你解得出來嗎?囚犯在監獄「自學數學」,想出 Pell 方程式經典難題

常聽人家說,「越險惡的環境,越能激發出卓越的潛能」。如果你被要求整天必須待在一個地方,哪裡都不能去,你會想要做什麼?

一位被判刑 25 年的美國囚犯,他選擇在監獄裡「學數學」,而且他的一項研究還在去年一月初登上《Research in Number Theory》期刊;此外,他還曾在服刑期間,提出了一個數學難題。

囚犯在監獄裡時間太多,開始思考數學問題

美國人 Christopher Havens 高中輟學後,因為謀殺案於去年入獄,他必須在監獄裡服刑 25 年。

待在監獄裡的時間越長,或許是多了與自己對話的時間與空間,Havens 漸漸發現自己對數學的喜愛,開始看書自學,研究整數以及整數的陣列與規律。

Havens 提出的問題與印度數學家 Srinivasa Ramanujan 的趣事有關。

Ramanujan 於 1914 抵達英國,將與劍橋大學的數字理論家 GH Hardy 一起工作,不過他在英國患了重病。有天,Hardy 搭乘了 1729 號小黃到醫院看望 Ramanujan,並在到達醫院後跟 Ramanujan 說,1729 號小黃感覺特別沉悶。

根據 Hardy 的說法,Ramanujan 回答說:「不,這是一個非常有趣的數字,它是一個能用兩種不同方式寫成兩個數的立方和的最小數。」

也就是說,1729 可以寫成:

Havens 的問題以此為出發點,具體上是 Pell 方程式(佩爾方程式)的一個範例方程式  x^2-N(y^2)=1,其中 N 是整數而非平方數。Havens 的問題是,如果想讓 1729(y^2)+1 成為完全平方數,y 的最小正整數解是多少?

動腦算算看,這個問題有整數解嗎?

這個問題被刊上了數學界的指標出版品《Math Horizon》。

其實在數學歷史上,用來解佩爾方程的方法有好幾個,例如印度科學家 BhāskaraII 的 chakravala 方法 ,該方法的基本思想是從猜測答案開始,並逐步進行調整,以找到最接近的答案。

另外一種可以求解佩爾方程式的方法是用方程中係數(N)平方根的連續分數表示,因此在 Havens 的 1792 問題中,連續分數將只是近似值。

如同數學家伊夫琳‧蘭姆(Evelyn Lamb)在《Popular Mechanics》的一篇文章中寫道 :

隨著分子和分母增加,連續分數的近似值逼近無理數。解決佩爾方程的連續分數方法的,當 x 和 y 很大時,相差 1 其實很小;換句話說,滿足 x^2 -N(y^2)=1 的數,其實接近於滿足 x^2=N(y^2)  或(x / y)^2= N 的數,因此找出能使 x / y 的平方接近 1729 的有理數,就能找到滿足 x^2 -1729(y^2)=1 的 x 和 y 。

為了求得 √1729 的連續分數,以至於 Pell 方程的解,必須在導出的每一個步驟使用「有理逼近」(稱為收斂),並以分數 x / y 表示,再接續檢查每一次的收斂是否滿足方程 x^2 -1729(y^2)=1

即使被判刑仍樂觀向學,出獄後決心為數學貢獻

Havens 提出的這個數學問題,其實要很快算出來也不是不行,只要在 Pell 方程計算機中輸入 1792 就能求得解答。

但說實在的,這個數學問題還是蠻適合覺得生活太無聊的人,動腦思考看看。

回歸到 Havens,雖然被判刑 25 年,等於是青壯年的大好青春的都在監獄裡度過,但他仍然沒有失去對人生的熱情與對學習新知識的渴望。

Havens 離開監獄後,除了想完成學士和碩士學位、在數學領域從事研究,他還想將他目前與其他監獄工作人員共同發起的「監獄數學計劃」轉型為一個專為數學感興趣的囚犯服務的非營利組織。

參考資料

Interesting Engineering-1》、《Interesting Engineering-2》、《popularmechanics

(本文提供合作夥伴轉載;首圖來源:unsplash。)

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