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作者：量子位
電腦程式又為數學家立功了。
最近，來自美國、加拿大、瑞士的 4 位數學家，用 C++ 和 MATLAB 程式解出了一個 6 元 105 項方程的 59 組特殊解。
求解完這個方程，也就證明了「有理四面體」（rational tetrahedra）總共只有 59 個「特殊」形狀和 2 個系列，從而解決了一個 44 年的數學難題。
而提出這一難題的，正是去年因新冠而去世的著名數學家約翰·康威（John Conway）。
1976 年，康威給出了求解該問題的方程。1995 年，兩位數學家找到了其中 59 組特殊解，但是他們不確定有沒有遺漏。
得益於電腦硬體的發展，現在只用 MacBook Pro 和幾台至強 CPU 電腦，在幾天內就完成了對所有解的搜索。
結果證明，那兩位數學家在 20 多年前其實已經得到了完整的答案。
什麼是有理四面體？
四面體，顧名思義，就是四個三角形圍成的立體圖形。
四面體每兩個面之間都組成一個二面角。四面體有 6 條棱，因此有 6 個二面角。
有理四面體是指四面體中的 6 個二面角都是有理數角度（與 180° 角的比值是有理數）。
就好像三角形的內角和公式數學公式: a+b+c=180°一樣，四面體的 6 個二面角之間也有一種關係，只不過這種關係要複雜得多。
定義 θij 為四面體第 i 個面與第 j 個面的夾角（顯然 θ ij =θ ji），那麼這 6 個二面角之間的關係可以行列式表示為：
因為是有理四面體，所以 θ ij =Qπ（弧度），Q 是有理數。
我們把行列式展開後，會得到一個包含 17 項的方程，而且方程中還有餘弦函數，求解難度很大。
但是數學家們想到了一個巧妙的化簡方法。
歐拉公式
接下來，數學家們用到了「最美數學公式」——歐拉公式——來簡化方程。
歐拉公式將複數（實數+虛數）的指數函數與三角函數聯繫起來：
i 是虛數，即 -1 的平方根。如果用圖像的方式理解歐拉公式，那就是：
很顯然，無論 θ 值如何變化，e iθ 到 0 點的距離一定是 1。
所以如果我們定義複數：
那麼這個複數一定是在以原點為圓心，半徑為 1 的圓上。
現在，方程裡的三角函數可以用複數來替代了：
這樣，上面的行列式從一個三角函數方程變成了一個多項式方程：
但問題也隨之而來，這個方程總共有 105 項，而且是一個 6 元方程！不過好消息是，我們知道這 6 個未知數都在那個半徑為 1 的圓上（稱作「單位根」）。
巧妙的是，複數 z ij 與 x 軸的夾角 θ ij 正好就是四面體的二面角，因此這些解不僅在圓上，與 x 軸夾角也必須是 π 弧度的有理數倍。
1995 年，在那個沒有性能強勁 PC 的年代，來自 UC 伯克利的 Poonen 和滑鐵盧大學的 Rubinstein 通過插入六個有理數的組合，來猜測這個方程的解，他們總共找到了 59 組。
這樣做帶來一個問題是：可以找到解，但是不能保證把所有解一網打盡。
一次數學家之間，偶然的碰撞
問題一擱置就是 20 多年，直到去年 3 月，Poonen 參加了一次講座。
在那一次的講座上，研究數論的數學家 Kedlaya 介紹了自己的工作：搜索了不同多項式方程的單位根。
這不就和尋找「有理二面體」的問題等價嗎？
Poonen 很快就給 Kedlaya 發郵件，說明自己的來意：你們研究的「正是我在 1990 年代需要的東西」。
收到郵件後，Kedlaya 與另一位研究單位根的數學家 Kolpakov 取得了聯繫。另一邊，Poonen 也聯繫上了他當年的的老搭檔 Rubinstein。
