【內附開源碼】Google 研發「公式製造機」,讓你瞬間變身數學天才

【為什麼我們挑選這篇文章】數學對科技發展至關重要,但數學研究卻是艱辛又漫長的過程。近日,Google 研發「公式製造機」,透過 AI 協助數學家找到數學的規律,能提升研究速度,也能提升電腦的運算效能。但有學者認為,人類數學家可能因此被淘汰。(責任編輯:郭家宏)

本文經 AI 新媒體量子位(公眾號 ID:QbitAI)授權轉載,轉載請連繫出處
作者:量子位

AI,可以產生數學公式,還是迄今尚未解決的那種問題。

例如 π 和 e 這樣的常數,雖然在科學領域司空見慣,但是計算其高精度近似值往往令人頭大。

由 Google 打造的拉馬努金機(Ramanujan Machine)便幫上了大忙——能算近似值,還能在數學計算中快速找出精準規律。

並且還登上了頂尖期刊 Nature。

用 AI 尋找最佳連分數,能降低電腦的運算量

生成連分數 (continued fractions),就是拉馬努金機的功能之一。

它是計算 π 和 e 這樣常數的方式之一,它的分母無限延伸下去,結果就會越來越接近:

那麼 Google 的科學家為什麼要用 AI 打造連分數?

這是因為各種數學常數的連分數是存在卻不是唯一的。

如果找到一個合適的連分數,那麼計算結果的收斂速度會非常快,大大減少電腦的運算量。

而發現連分數裡那些特殊整數的規律,需要有長年數學知識的積累,更要有易於常人的直覺。

有了拉馬努金機器,就可以用電腦代替人的思維去尋找特殊的連分數了。

並且連分數還應用到了各種概念上重要的數字上。

其中一個是加 Catalan 常數。

這個數字大約為 0.916,但可以說是非常的神秘,因為沒有人知道它是否是有理數。

換而言之,沒人知道它是否可以表示為兩個整數的分數。

數學家們對此數能夠做到的,就是證明它的「非理性指數」——衡量用有理數來近似一個數字的難度。

證明 Catalan 常數是無理數,就等於證明它的無理指數大於 1。

人類對此最佳的結果是 0.554,但在拉馬努金機的幫助下,這一結果有改進,達到了 0.567。

透過 MITM-RF 與 Descent&Repel 演算法實現

論文當中提到了兩種演算法。

第一種是中間相遇法(The Meet-In-The Middle)。這個演算法的思路非常簡單:

給定一個常數 c(如 c = π),根據公式:

先計算出公式右邊一個精度較低的值,並將其存入哈希表,然後通過列舉的方法,來使公式左右兩邊的值相配對,配對上的值稱為「hits」。

隨後增加 hits 的精度並重新比較,重複這個過程直到 hits 達到指定精度。這個最終的結果就提供了一個新的連分數。

有些 hits 值會產生誤報,針對這一點,研究人員提出透過計算任意精度的有理函數來減少誤報。

在這個演算法當中,由於公式右邊的計算成本更高,所以將它的值以哈希表來儲存,以空間換時間。這個哈希表也可以保存下來重新服務於公式左邊的列舉,從而大大減少未來的列舉時間。

MITM-RF 演算法不需要任何關於基本常數的先驗資訊,不過有許多基本常數的結構是可以推斷出來的,以此作為 MITM-RF 的先驗資訊可以有效降低空間複雜度和計算複雜度。

不過,MITM-RF 方法還是存在擴展性不佳的問題,於是研究者使用到了機器學習當中常用的梯度下降方法,他們稱其為 Descent&Repel 方法。

我們可以把優化問題描述成這個樣子:

這裡的最小值不是零維度點,而是(d-1)維的流形,其中 d 是給定的單一約束所預期的優化變數的數量。

研究者還觀察到所有的最小值都是全局的,並且它們的誤差為 0,也就是說所有的梯度下降過程最後都會得到 L = 0 的解。

這個優化問題起始於一個大的點的集合,在範例當中,所有初始條件被放置在一條線上。對每一個點疊代執行梯度下降,然後強制所有的點透過庫侖排斥彼此排斥。透過梯度下降步驟,保證演算法朝向整數格並趨向最小曲線,最後僅返回位於整數格上的解。

AI 能運算與證明,人類數學家可能被淘汰

自動生成猜想,並不是電腦幫助推動數學發展的唯一領域。

雖然許多數學家仍舊喜歡用紙、筆來工作,但是利用數學軟體,確實可以操作複雜的代數表達式。

電腦輔助計算在幾個引人注目的結果的證明中發揮了關鍵作用。

最近,一些數學家在人工智慧方面取得了進展,人工智慧不僅能進行重複的計算,還能自己做出證明。

另一個正在發展的領域是軟體,它可以檢查人類寫的數學證明,並檢查它是否正確。

正如證明自動化的先驅 Zeilberger 所述:

最終,人類將會被淘汰。

隨著人工智慧產生的數學的複雜性增加,數學家們將會失去電腦正在做什麼的軌跡,並且只能粗略地理解計算。

但儘管電腦能夠提出數學表示,甚至證明它們是正確的,但如果沒有人類的干預,目前還不清楚它們是否僅僅是從技術角度來區分這些數學表示。

因此也有人認為,類似於拉馬努金機這樣的 AI,只是數學工作者的一個輔助工具。

拉馬努金不喜歡證明,習慣以直覺導出公式

拉馬努金是印度最著名的數學家之一。

在 20 世紀早期,拉馬努金對數學做出了重要貢獻。

他沒受過正規的高等數學教育,沉迷數論,尤愛牽涉 π、質數等數學常數的求和公式,以及整數分拆。

拉馬努金習慣以直覺導出公式,不喜歡證明(事後往往證明他是對的)。他留下的那些沒有證明的公式,引發了後來的大量研究。

最後,與拉馬努金機相關的項目,在 GitHub 上已開源,點下方連結可以去試試哦!

論文 傳送門
GitHub 開源 傳送門

(本文經 AI 新媒體量子位 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題,原文標題為 〈谷歌“公式制造机”登上 Nature,你也能用它“变成”数学天才 | 开源〉。首圖來源:Pixabay CC Licensed

延伸閱讀

【學數學沒用?】名校重 AI 研究、砍數學系經費,學者引 AI 之父圖靈學歷打臉
愛滋潛伏期為何這麼長?科學家用微積分模擬病毒行為,發現 HIV 也遵守數學規則!
【手癢快拿出紙筆】百年未解的山羊吃草難題,德國數學家用「複變函數」破解了


《TechTaiwan》國際版 2021 正式上線

國外都在關注台灣的哪些科技消息呢? 立即至 Facebook 按讚、Twitter 及 LinkedIn 追蹤,第一手國際趨勢、科技洞察都會在 TechTaiwan 官方網站 哦!

點關鍵字看更多相關文章: