【我們為什麼挑選這篇文章】大約在國小五六年級,學習「圓」時,大家應該都碰過山羊吃草求面積、求繩長的問題,不過那只是問題表面的簡單問題,被用來做為學習圓概念的題目,然而這個問題背後的幾何問題,它的解析解近期才被解出,怎麼算出來的?(責任編輯:賴佩萱)

本文經 AI 新媒體量子位(公眾號 ID:QbitAI)授權轉載,轉載請連繫出處

作者:量子位

先來看一道簡單的幾何問題:

下圖中,黑圓恰好將紅圓的面積等分,且黑圓的圓心恰好在紅圓上。假設紅圓半徑為 R,黑圓半徑為 r,求 r。

是不是感覺已經信手拈來,能在紙上演算一通了?

然而,就是這個看起來簡單的數學難題,讓數學家們想了幾百年,都沒能給出它的解析解。

解析解:指用精確的數學表達式寫出的方程解。有些方程難以求出解析解,只能寫出近似解。如下圖,x=cos(x) 就沒有解析解,方程的解只能近似為 x≈0.7390…

△x=cos(x),x 沒有解析解

這個難倒數學家的問題,叫做「山羊問題」(goat problem),最初的問題描述是這樣的:

將一隻山羊拴在面積為 1 英畝的圓形草地的圍欄上,請問栓多長的繩子,才能讓山羊剛好吃到半英畝的草?

問題提出後,已有數學家給出了 2 種求解方程。

但,僅僅是「方程」:


這個問題的精確答案,即如何準確地用圍欄半徑來表示繩子長度,卻一直懸而未解。

美國海軍學院數學家 Mark Meyerson 曾表示,對於這一問題,此前「沒人知道確切答案,解決方法只是大致給出的。」

直到今年,才有一位叫做 Ingo Ullisch 的德國數學家,給出了這個問題的解析解。

從疊代到積分,求出來的只是方程

如果用數學的語言來描述這個問題,它是這樣的:一個半徑為 R 的圓 A,與另一個半徑為 r 的圓 B 相交,其中圓 B 的圓心在圓 A 上,且兩個圓的相交面積為圓 A 面積的一半,求解 r

如果只是列出有關 r 的方程,目前已經有兩種方案。

第一種方案,代入求解透鏡面積的方程

透鏡由兩個(半徑相同或不同的)圓相交構成,求解它的面積 A,目前已有這麼一個公式(其中,兩圓半徑為 R 和 r,圓心之間的距離為 d):

顯然,「山羊問題」也能用透鏡面積方程來求解。

假設圍欄的半徑為1,那麼在「山羊問題」中,求解條件將變成 R=d=1,且A=1/2π,求解出來的 r 符合這一方程式:

 

這個方程需要用疊代法求解,能得到 r=1.1587… 的答案。

但這不是數學家想要的結果。

不願意就此放棄的數學家們,試圖用求積分來解決這一問題,並給出了第二種方案:

這次,他們求出了左邊有 r 的式子,但遺憾的是,這其實是個超越方程(指方程中有無法用自變數的多項式或開方表示的函數,類似於 x=cosx):這些看似都能求解出 r,但實際上只能算出數值解,而非解析解。

最後用上了複變函數

直到今年,一個名為 Ingo Ullisch 的科學家,才終於給出了問題精準的解析解。不過,為了求解這一問題,他甚至用上了複變函數的知識,這也使得式子變得複雜不已。

但也得益於他的貢獻,這一問題自被提出以來,第一次有了解析解:

那麼,這個式子是怎麼被求解出來的呢?

根據 Ullisch 的思路,他以兩個圓的圓心與其中一個交點相連,組成了一個三角形,如下圖所示:

其中,三角形的兩個底角分別被設為 α/2 和 β/2。在經過一系列複雜運算後,Ullisch將式子簡化成了下面這個方程:

求解這一方程,就能得到解析解,但會用到復變函數相關的定理。

Ullisch 表示,這一問題之所以複雜,是因為問題本質上相當於給定了一個面積固定值,並倒推出它的輸入。

但如果想要逆轉這一過程,反向求解出輸入的定義,問題就會變得棘手。

CMU 的數學教授 Michael Harrison 表示,這是他所知道的有關「山羊問題」的第一個明確的解析解。

「這絕對是一個進步。」

這也是山羊問題系列中,最原始、最根本,也是最難的問題之一。

有關山羊問題,其實還有很多…

事實上,自 1748 年來,數學家們還從最原始的山羊問題中,思考出了各種問題的變體(換著花樣找難題做)。

例如,除了讓山羊在圍欄內吃草,還讓山羊到圍欄外吃草,併計算它能吃到的最大草地面積(其中,繩索長度和圍欄周長固定):

此外,甚至還讓羊飛上了空中,讓它在三維的世界裡吃草(空間中的山羊問題):

當然,根本問題還是求解球的半徑 r,使得兩個相交球的相交體積正好是單位球體積的一半。

不過,蘭卡斯特大學的數學教授 Graham Jameson 表示:「三維問題實際上比二維問題更容易解決。」

數學家 Fraser 表示,這是因為,如果將問題放在無限的維度中,數學家們可以推論出一個更明確的答案。

例如,將這個問題放到 n 維空間時,Fraser 就推算出,當 n 接近無窮大的時候,繩子與限定球體的半徑比接近於 √2。

然而在二維世界裡,這種明確的答案反而很難找。

因此,這次 Ullisch 求出的解析解,也是「山羊問題」系列的重大突破。

不過 Ullisch 也承認,這一問題的解決,並不會顛覆教科書或數學的研究,因為它只是一個孤立問題,不僅與其他問題無關,也沒有嵌入數學理論。

但數學家們仍然非常激動。

Mark Meyerson 表示:為數學題尋找新的解法,通常是很有價值的,這些解法不僅可以再次給已解決的問題帶來新思路,還可以將之推廣到其他問題上。

數學家 Harrison 則認為:雖然解決放牧山羊的問題不會取得突破性的數學成果,但數學領域的新方向,永遠可能來自任何地方。

而提出山羊問題超越方程的 Hoffman,也有類似的看法:並非所有的數學進步都來自於取得根本性突破的人。有時候,這種進步也包括研究經典方法並找到新的角度,最終可能會帶來意想不到的效果。

當然,網友在祝賀之餘,也有表示這一問題「不太符合生活常理」的:

我認為這個問題,是沒有山羊相關的經驗的人提出的。因為我一想到山羊,就會想到它們在拼命跳籬笆、嚼繩子……這讓我沒辦法專心解決這個問題。

山羊問題解析解論文

SpringerLink

參考資料

ycombinator》、《quantamagazine》、《wikipedia

(本文經 量子位 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題,原文標題為〈兩圓重疊問題你會求解嗎?這個問題的準確答案,德國數學家最近才找到〉;首圖來源:unsplash。)

更多被破解的數學難題