【是否有個奇數剛好也是完全數?】歐幾里得、笛卡爾都無解的數學難題,他提出了新思考方向

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作者:量子位

【為什麼我們要挑選這篇文章】「完全數」(又稱完美數或完備數)的概念最早由古希臘數學家歐幾里得提出,其定義為所有真因子(即除了自身以外的因數)的和,恰好等於它本身。好幾世紀以來,有關偶數完全數已有公式可推論,但對於奇數完全數的假設仍然沒有明確的說明,近日,一位美國數學家提出了新的推論方向。(責任編輯:賴佩萱)

尤拉、歐幾里得、笛卡爾、尼科馬修斯都沒能解決的千年數學問題,還有破解的可能嗎?

還真有可能。

最近,一位名為佩斯‧尼爾森(Pace Nielsen)的數學家開闢了一種新方法,給這個「千年難題」提供了別樣的解決思路。

這個數學問題是奇數完美猜想,事實上,它的定義非常簡單: 是否存在一個奇數,使得它是完美數?

然而,這個「簡單問題」卻在證明過程中變得越來越複雜,甚至成了數學上懸而未解的「疑案」。

有「完美」的奇數嗎?

首先來解決一個概念:「完美數」是什麼?這個數最早被畢達哥拉斯發現,他給出了完美數的定義:

一個完美數(必須是自然數),如果將它除了自身以外的所有因數相加,等於它自己。

例如,6 就是一個完美數。

由於 6=1×6=2×3,所以 6 除了自己以外,它的因數還有 1、2、3。可以看見,這三個因數的和為 1+2+3=6,恰好等於 6 自己。除了 6 以外,還有 28、496、8128……

根據這些排列出來的數,歐幾里得設計了一個公式,用來生成完美數。

假設一個質數 p,而 2 ^ p – 1(2 的 p-1 次方)也同樣是一個質數,那麼 2^(p-1)×(2^p-1)就會是一個質數。

問題被解決了?沒有。

2000 年後,尤拉研究這個問題時發現,歐幾里得給出的公式,實際上只能生成完美數中的每個偶數。

數學家尼科馬修斯(Nicomachus)下過定論,「完美數只能是偶數」,但沒有證明;也就是說,沒人知道完美奇數猜想是否正確——到底存不存在這樣的奇數(Odd Perfect Numbers,簡稱 OPN),使得它是完美數?

限制越多,排除的奇數也越多

問題吸引了不少數學家研究,OPN 的限制條件也開始被提出:不能被 105 整除、任何 OPN 都必須大於 10 的 2000 次方等。限制條件越來越多,OPN 存在的可能性也在被縮小——像漁夫「收網」一樣,越來越多的奇數正在被排除。

根據數學上的定理,如果兩個限制條件互相矛盾,那麼 OPN 就不可能存在。然而,隨著限制條件越來越多,條件之間卻沒有一點矛盾的跡象,導致這個猜想一直沒被證明。

對此,數學家約翰.沃伊特(John Wallis)表示: 證明一種事物的存在非常簡單,但證明它不存在,卻要困難得多

這條路不行,就換個方向試試看

與眾多研究「完美奇數猜想」的數學家一樣,尼爾森一開始也試圖增加 OPN 的限制條件,以證明它不存在,但他發現,這樣的證明方法會隨著限制條件的增加變得十分複雜。

為此,尼爾森研究前人的成果,發現了笛卡爾留下的「欺騙數」(spoof number)。事實上,這是笛卡爾試圖證明「完美奇數」存在的一個失敗案例:他假裝某些數是質數,以此得出了一個假冒版的「完美奇數」。

例如,198585576189 是一個巨大的數,而 22021 是它的一個因數。笛卡爾在證明過程中,假裝 22021 是質數,將它和 198585576189 的其他因數相加,就等於 198585576189 自己,符合「完美奇數」的定義。

其實,22021 等於 19×19×61,這個數也因此成為了一個「欺騙數」。

此外,後人還在笛卡爾研究的基礎上,弄了一個「惡搞版」欺騙數——他假設負數也能成為完美數(完美數只能是自然數),證明了−22017975903 是所有因數的和。

但如果將這種「欺騙數」用來證明「完美奇數」不存在呢?尼爾森與研究團隊用了幾年時間,找出了所有的「欺騙數」,並開始研究這些欺騙數的特點。

他提出了自己的觀點:「完美奇數」應該具有「欺騙數」的一切特性,而且還自帶特殊條件,而如果能證明「欺騙數」不符合「完美奇數」的任何一個限制條件,那麼「完美奇數」就不可能存在。

簡單來說,由於「完美奇數」不能被 105 整除,那麼如果「欺騙數」都可以被 105 整除,「完美奇數」就不存在。

雖然團隊還沒有找到這樣的限制條件,但這無異於給「證明不可能」提供了一個更好的思路。

約翰.沃伊特表示,這是個偉大的嘗試。

也有網友表示,這離難題的解決又近了一點。

尼爾森與奇數完美猜想

尼爾森第一次與完美數猜想結緣,是在高中數學競賽上。被這個問題所吸引,他找來了各種論文研讀,並在大學時期選擇了數學相關的專業學習,希望能為解決奇數完美猜想帶來幫助。

論文顯示,尼爾森曾經在加州大學伯克利分校(UCB)工作,目前在楊百翰大學(BYU),繼續進行奇數猜想相關的研究。

對於數論問題,尼爾森表示自己「正在不斷取得進展」。

「只有不斷到山里去,才可能最終找到鑽石。」

參考資料

Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem

(本文經 AI 新媒體量子位 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題,原文標題為 〈歐拉、歐幾里得、笛卡爾都沒能解決的數學問題,他探索了新的方案 〉;首圖來源:unsplash。)

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