【我們為什麼挑選這篇文章】德國數學家 Ott-Heinrich Keller 於90 年前提出了所謂的「凱勒猜想」,這是一個用相同瓷磚覆蓋空間的問題。他對每個維度的空間做出論斷:在 n 維空間裡,用 n 維立方體填充空間,兩個相鄰的單位體會共用 n-1 個維面。

有關各維度的論證一一浮出檯面,唯讀 7 維空間遲遲未解,但近期在 40 台電腦的強大算力下,這個難題終於有解了!(責任編輯:賴佩萱)

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作者:量子位

數學家會程式碼,誰也擋不住!就連困擾人類 90 年的數學猜想也擋不住。來自史丹佛、CMU 等名校的 4 名數學家,將一個數學難題轉化成了對 10 億個結果進行「暴力搜索」。

冷門數學題終於破解

他們把這串程式碼輸入 40 台電腦組成的計算集群,30 分鐘後,電腦給出了一個 200 GB 大小的證明結果:凱勒猜想在不超過 7 維的空間是成立的

現在,任何人都可以去 GitHub 上複製這串程式碼,驗證這一數學定理。比較意外的是,這段獲得電腦學術會議 IJCAR(國際自動推理聯合會議)最佳論文獎的程序,上線 GitHub 半年,只獲得一顆星。

那麼,這 4 位數學家要證明的「凱勒猜想」到底是什麼?為何非要用電腦來證明?電腦證明的結果可靠嗎?

下面讓我們一一道來。

什麼是凱勒猜想?

假如用一批完全相同的正方形瓷磚鋪滿地面,中間不留空隙。顯然,瓷磚之間會共用一條邊,如下圖藍線所示:

在 3 維空間中,如果要用立方體佔滿空間,是不是也和 2 維空間類似呢?

想像一下,如果像下圖那樣在空間中隨便放入幾個立方體,由此展開填滿整個空間,那麼唯一的辦法就是讓接上的立方體共用藍色的面。

2 維、3 維皆如此,更高維度的空間會怎樣?1930年,德國數學家凱勒猜測,如果用 n 維立方體填滿無限空間,則立方體之間必然會出現「面對面」,對於任意維度都成立

這便是凱勒猜想。

但數學猜想不能僅靠直覺,必須有嚴格的證明。90 年來,數學家一直不懈努力。1940年,數學家 Perron 證明了凱勒猜想在 1 到 6 維空間是成立的1992 年,另外兩位數學家 Lagarias 和 Shor 證明,凱勒猜想在 10 維空間上是不成立的(注:這位 Shor 就是那個提出用量子計算機求解質因數分解的數學家)

那還有 3 個維度沒有解決呢!在 7 維、8 維、9 維 三個維度空間中,凱勒猜想是否成立?

有數學論證表明,如果凱勒猜想在 n 維空間上是錯的,那麼它在比 n 更高的維度上也一定是錯的。2002 年,數學家 Mackey 已證明,凱勒猜想在 8 維空間不成立,因此在 9 維空間也不成立

至此,7 維空間成為唯一的難題。

修改證明方法:電腦「圖論」

可能你已經發現,從上世紀 90 年代以來,凱勒猜想的證明速度大大加快,數學家只用了 10 年時間就把​​問題縮小到三個維度。

這主要得益於兩位數學家的貢獻。當年,Perron 求解 1 到 6 維度時,沒有特殊的捷徑。而到 1990 年,凱勒猜想的證明方法發生了巨大的變化。

數學家 Corrádi 和 Szabó 提出了一種新的方法,把原來無限空間的問題變成有限、離散的問題,也讓電腦解決凱勒猜想成為可能。

他們巧妙地把凱勒猜想變成圖論問題,就是構造所謂的凱勒圖(Keller Graph),而圖論正是電腦所擅長的。

在這種方法的指導下,Lagarias 和 Shor 兩人很快在 2 年後就證明了 10 維空間的情況:凱勒猜想不成立。又過了 10 年,Mackey 證明,凱勒猜想在 8 維空間不成立。

那麼,凱勒圖究竟是什麼,它為什麼能夠加速凱勒猜想的證明?

解析「凱勒圖」構造

首先,我們從最簡單的 2 維情況說起。現在,我們有一種牌,牌上畫著兩個有顏色的點,兩個點是有順序的,不能調換,比如,1 黑 2 白≠1 白 2 黑。

兩個點總共可以塗 4 種顏色,顏色分成 2 對:紅色對綠色、白色對黑色。數學家已經證明,分配給點的顏色相當於正方形在空間中的坐標。兩張牌的顏色是否配對標示了兩個正方形的相對位置。

點的顏色與正方形的具體關係是這樣的:

1. 兩對點完全相同,表示兩個正方形完全重疊

2. 兩對點顏色都不同,且顏色都不配對,表示兩個正方形有部分重疊

3. 一對點顏色相同,另一對點顏色配對,表示兩個正方形共用一個邊

4. 一對點顏色不同,另一對點顏色配對,表示兩個正方形的邊相互接觸但不重合

2 個點的凱勒圖,要用 2 對顏色去填充牌面,總共有 16 種情況。然後我們把這 16 張牌擺在桌上,只有符合前面條件 4 的兩張牌,才能用線將二者連起來,這樣就構成了一張「凱勒圖」。

包含 16 張牌的凱勒圖就描繪了正方形填補平面的所有可能。如果 2 維空間中凱勒猜想不成立,那麼我們肯定能找到 4 個正方形,它們之間沒有共用的邊,但是能夠無縫隙地填在一起,然後在屏幕上無限複製這 4 個正方形,就能填滿整個螢幕。

實際上並不可能。如果按此操作,只會得到有著無數孔隙(下圖紫色部分)的填充方式。

對應到凱勒圖中,就是在圖中找到 4 張牌,它們兩兩之間都有連線(在數學上,這叫做完全圖);顯然,在 2 維問題的凱勒圖中,我們找不到這樣的 4 張牌(可以自己去上面的凱勒圖中找找看)。

這樣,我們把就把 n 維立方體以及位移 s 與牌的點數 n、顏色對數 s 聯繫起來。

作為更一般的規則,如果要證明 n 維凱勒猜想是錯的,就要在對應的凱勒圖中找到 2n 張牌,且這些牌兩兩相連,但正因為你找不到 4 個張牌組成的完全圖,所以 2 維空間的凱勒猜想是對的。

為了在 3 維空間中證明凱勒猜想,可以使用 216 張牌,每張牌上 3 個點,並可以使用 3 對顏色(這一點相對靈活);然後,我們需要尋找 23=8 張牌,它們兩兩之間都有連線,但還是找不到。

到了 8 維空間中,我們總算可以找到符合條件的 256 張牌,所以 8 維空間的凱勒猜想是錯的。

8 維空間中的一個反例(一個凱勒圖的完全子圖)

七維空間為什麼那麼難解?

接下來的事情就是在 7 維空間對應的凱勒圖上尋找完全子圖。然而這個問題卻從 8 維問題解決後被擱置了 17 年。

根據前面的說明,求解 8 維空間和 10 維空間的凱勒猜想,要尋找 28=256 和210=1024張牌的子圖,而 7 維空間只要尋找 27=128 張牌的子圖。

後者的難度似乎更小,7 維空間的問題應該更簡單啊!其實不然,因為從某種意義上說,8 維和 10 維可以「分解」為容易計算的較低維度,但 7 維不行。

證明了 10 維情況的 Lagarias 說:「7 維不好,因為它是質數,這意味著你無法將其分解為低維,因此別無選擇,只能處理這些圖的全部組合。」

對於人腦來說,尋找大小為 128 的子圖是一項艱鉅的任務,但這恰恰是電腦擅長回答的問題。

電腦幫幫忙!超強博士生做到了

此前證明 8 維問題的 CMU 教授 Mackey 拉上了史丹佛的數學系博士生 Brakensiek 和專長電腦輔助證明的助理教授 Heule。

回憶起立項的那天,Mackey 說,Brakensiek 是真正的天才,看著他就像看著 NBA總決賽里的 LeBron James。Brakensiek 本人確實很厲害,他曾是 2013/14 兩屆國際訊息學奧林匹克賽(International Olympiad in Informatics,IOI)金牌得主。

論文第一作者 Brakensiek

言歸正傳。為了方便電腦求解,他們換了個方向來思考:先設定牌上有 7 個點、6 種可能的顏色,按照前面的「條件 4」對這些牌上色,看看能不能找到 128 種不同的填色方法,如果找不到,那麼凱勒猜想成立。

用電腦輔助證明數學問題,還需要把它變成一系列邏輯運算,也就是處理 0 和 1 之間的與或非關係。

若要求解 7 維,則總共包含 39000 個不同布爾變量(0 或 1),有 239000 種可能性,這是一個非常非常大的數字,有 11741 位數。

2 的 39000次方(來自 Wolfram Alpha 運算結果)

數學家利用排除法和對稱性,縮小可能解方

一台普通電腦只能處理 324 位數種可能,離解決問題還遠得很,就算交給超級計算機也不夠;但是,這幾位數學家想到了排除法,只要得到結論,而不必實際檢查所有可能性。效率才是王道!

比如,用電腦規則給 128 張牌上色,當你塗到第 12 張牌的時候,發現找不到符合條件的下一張牌了。那麼所有包含這 12 張牌的排列都可以排除;提升效率的另一種方式是利用對稱性。如果已經驗證了某種排列不可能,那與之對稱的所有情況都可以排除。

透過這兩種方法,他們把搜索空間縮小到 10 億(230)。這樣一來,用電腦搜索變成了可能。

最終,他們僅計算了半個小時,便有了答案。

電腦沒有找到符合條件的 128 張牌,所以 7 維空間的凱勒猜想確實成立。實際上,電腦提供的不僅僅是一個答案,證明的內容多達 200 GB。4 位論文作者將證明送入電腦的證明檢查器,確認了它的可靠性。

解決了凱勒猜想後,Heule 的下一個目標是用電腦證明數學裡「最簡單的不可能問題」—— 3n+1 猜想,去年陶哲軒已經「幾乎」解決了這個問題,現在可能只差一步之遙了。

參考連結:

https://www.quantamagazine.org/computer-search-settles-90-year-old-math-problem-20200819/

https://www.cs.cmu.edu/~mheule/Keller/https: //mathworld.wolfram.com/KellerGraph.html

論文:https://arxiv.org/abs/1910.03740

原始碼:https://github.com/marijnheule/Keller-encode

(本文經 AI 新媒體量子位 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題,原文標題為〈困擾數學家 90 年的猜想,被計算機搜索 30 分鐘解決了〉。)

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