不會的數學題就用倒立來想吧!回顧葛立恆數之父一生

【我們為什麼挑選這篇文章】葛立恆數,曾經被視為在正式數學證明中出現過最大的數,甚至獲得了金氏世界紀錄的肯定。然而,創造者葛立恆,不幸在 7 月 6 日逝世了。生前的他,不僅是名嚴謹的數學家,私底下還是一名雜技演員、魔術師,據說,這樣的興趣讓葛立恆在遇到數學難題時,能夠透過倒立、雜耍來放鬆頭腦、獲得靈感,讓我們來看看更多背後的有趣故事吧!(責任編輯:呂珈寧)

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作者:量子位

2020,又一位數學大師仙逝。7 月 6 日,美國著名數學家葛立恆(Ronald Graham)因病逝世,享年 85 歲。

雖然很多數學愛好者不敢相信這個事實,但美國數學學會(AMS),已在官網發布了葛立恆的訃告:

這位曾經的 AMS 主席獲得官網這樣的評價——他是離散數學的領軍人物。

與葛立恆合作過 25 篇論文的數學家 Steve Butler 也在社交媒體上證實了這一消息。

這位傳奇數學家留給大眾最重要的遺產,就是葛立恆數,這個數學證明中用到的最大數曾入選吉尼斯世界紀錄為人熟知。而葛立恆數僅僅是他的一點貢獻,葛立恆還在組合數學、圖論、調度理論、計算機科學等諸多領域都做出過巨大貢獻。

我們都聽過所謂的「六度理論」,即任意兩人之間都可以通過不超過 6 個人的人脈關係聯繫起來,這一理論恰恰是由葛立恆 1979 年的一篇論文發展而來。

而且,葛立恆不僅僅是一名數學家,還是一名雜技演員、魔術師。

傳奇數學家

如果你不熟悉葛立恆,那一定會覺得他的名字非常特殊。Graham 通常翻譯做格雷厄姆,為何 Ronald Graham 卻翻譯成了「葛立恆」這樣一個有中國特色的名字?

原因是葛立恆有一位華人妻子金芳蓉。金芳蓉也是圖論領域的專家,夫妻二人同是加州大學聖地牙哥分校的數學教授。

葛立恆一生共發表 350 多篇論文和書籍,其中與妻子合作的就有 90 多篇。談到和葛立恆的婚姻,金芳蓉這樣描述:

許多數學家不願嫁給同專業的人。他們擔心二人之間會過於競爭。我們不僅都是數學家,而且都在同一領域工作。因此,我們可以理解和欣賞對方的工作,而且我們可以一起工作,有時會取得很好的進展。

在生活中,葛立恆與另一位天才數學家保羅·埃爾德什(Paul Erdős)也有一段令人稱頌的友誼,兩人合作過 30 多篇論文。

葛立恆夫婦與埃爾德什

葛立恆夫婦甚至還在家中留有一個專門的房間,給埃爾德甚長期拜訪居住。由於埃爾德什比葛立恆大 22 歲,後來葛立恆還負責起埃爾德什的起居生活,包括管理收入、納稅還有幫他買衣服。

埃爾德什去世後,葛立恆負責打理由埃爾德什設立的獎金「埃爾德什獎」,這筆獎金用於獎勵那些解決某難題的青年才俊科學家,陶哲軒也曾獲獎。

出生於 1935 年的葛立恆,於 1962 年獲得了加州大學伯克利分校的博士學位,此後進入了 AT&T 的貝爾實驗室工作,之後擔任該實驗室首席科學家。在他的帶領下,貝爾實驗室建成了世界一流的離散數學和理論計算機科學研究中心。

在此期間,他曾在普林斯頓大學、斯坦福大學、加州理工學院、加州大學洛杉磯分校和戴維斯分校擔任訪問職位。葛立恆 1999 年被任命為加州大學聖地牙哥分校的計算機與信息科學系主任。2003 年,葛立恆獲得了美國數學學會頒發的斯蒂爾終身成就獎。

多才多藝的葛立恆,在此期間還有其他「副業」,他曾在 1972 年擔任國際雜技演員協會主席。葛立恆精通體操和蹦床,也是個會雜技的魔術師。

這些副業也給了他主業巨大的扶持。當葛立恆在研究數學問題受困時,他會在工作場所來一些雜耍動作放鬆頭腦,獲得靈感。

 

說到這裡,你是否覺得葛立恆的人生已經足夠開腦洞,而他最重要的葛立恆數才是把腦洞開到最大。

什麼是葛立恆數

說到這裡,我們進入燒腦環節。這個號稱最大數的葛立恆數定義是這樣的:

為了搞清楚上面的標記到底是啥意思,我們先來介紹一個新的工具。

過去人們用科學記數法來表示大數實在是弱爆了,於是著名計算機學家高德納想到了一個更好的辦法。

沒錯,就是那位獲得 1974 年圖靈獎、還在寫《計算機程序設計藝術》的計算機大神高德納。他提出的表示法被叫做高德納箭頭,透過不停給指數「無限循環」的方式來構造大數。

一個高德納箭頭表示普通的指數:

3↑3 = 33 = 27

兩個高德納箭頭表示指數嵌套的層數:

3↑↑3 = 3↑(3↑3)=3↑27 = 327 = 7625597484987

三個高德納箭頭是把二重箭頭算兩遍:

3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7625597484987 = ……

更直觀的表示是這樣的,總共嵌套了 7625597484987 層指數:

算到這裡,3↑↑↑3 已經是一個「天文」數字。算出它不可能,就是把它所有的指數寫下來,也需要天文級別長度的紙條。

因為,如果我們每隔 2 厘米寫一個 3,那麼得從地球寫到太陽表面。

四個高德納箭頭就是把三箭頭再嵌套一次:

3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(一個需要寫到太陽的數) = ???

隨著箭頭的增長,數字的增長速度比指數函數不知道快多少倍。然而這還僅僅是葛立恆數的第一層,也就是第二層的箭頭數,第二層的數又是第三層的箭頭數,……,葛立恆數這個「老千層餅」總共有 64 層。

這個數到底有多大?大到你的腦洞變成黑洞也裝不下。我們不僅沒法算出來葛立恆數,甚至連葛立恆數位數的位數也無從知曉。

全宇宙的原子數量在葛立恆數面前就是 0。假如你的腦子要裝下葛立恆數,存儲這個數的信息熵會大到讓你的腦子變成黑洞。

至於葛立恆數的最後 500 位是這樣的:

葛立恆數有什麼用

為了防槓,在這裡我們需要強調:比葛立恆數大的數還有無窮多個!比如給葛立恆數加一、乘二,都能得到比它更大的數,但這些數字都沒有具體的數學意義。

葛立恆數是有數學意義的最大數字(直到 TREE(3)出現)。

那麼,一個研究離散數學的人是怎樣和巨大數字打起了交道?這要從葛立恆研究的圖論說起。葛立恆當年研究了拉姆齊理論中的一個問題:給 n 維立方體的邊上色。我們先從最簡單的二維立方體,也就是正方形說起。

正方形總有 4 個頂點,把這些頂點全部兩兩連起來,總共會有 6 條線。這種把所有點全部連起來的圖,在數學上叫做完全圖。

如果我們規定 6 條邊只能塗上紅藍兩種顏色,那麼在一個平面裡會不會有單色的完全圖呢?

葛立恆在 5 年前的科普視頻裡告訴我們,在正方形上,確實可以找到一種塗色方法,可以不出現單色的完全圖。

紅色邊所連 3 點沒有構成完全圖,因為底邊是藍色

那麼到了 3 維情況會如何?立方體頂點間總共有 28 條連線,給它們按照以下方式上色。

你注意到了嗎?有一個斜的平面中有個單色完全圖,可​​是如果我們把最下面的邊換成藍色,那麼就不能在任意一個平面內找到單色完全圖了。

如果到 4 維、5 維、6 維……空間中的立方體,是不是存在一種塗色方法,讓人找不到平面內的單色完全圖呢?

通過具體的例子,我們發現 2 維、3 維中立方體中,確實能找到這樣的塗色方法,但是數學家們發現,當維度 n 大於一個數後,就再也找不到符合要求的塗色方法了。至於 n 到底有多大,數學家到現在也沒有完全證明,只能給出一個範圍。

數學家已經證明 n≥13

而葛立恆證明,這個 n 最大不會超過葛立恆數。《科學美國人》雜誌的專欄作家 Martin Gardner 在大眾科普中介紹了上述問題,葛立恆數的名稱由此而來。

Gardner 在文章裡這樣描述葛立恆數:

其範圍如此之大,以至是嚴肅數學證明中使用的最大數。

雖然後來有更大的 TREE(3)超越它,但是葛立恆數已經如此深入人心,以至於人們一提到最大數,首先就想到它。

20 世紀數學巨匠殞落

今年我們已經失去了 John Conway 和 葛立恆 兩位數學大師,令人惋惜。斯人已逝,相信葛立恆已經和好友埃爾德什在另一個世界相聚。如果寄託的哀思有一個數量限制的話,那一定是葛立恆數。

RIP

(本文經 AI 新媒體量子位 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題,原文標題為 〈“最大數之父”葛立恆逝世,他是 20 世紀數學巨匠,也是一個雜技演員 〉。)

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