用三角函數幫你算:如果忘記帶傘,怎樣跑步可以淋到最少的雨?

【我們為什麼挑選這本書】下雨忘記帶傘怎麼辦?這種時候只能豁出去,趕快衝到目的地。問題是:怎麼跑可以淋到最少的雨?

跟著網紅老師玩科學》的作者李永樂是西瓜視頻的科普網紅,也培養清大北大學生參加國際的數理競賽。透過本書,我們可以了解日常現象背後的科學原理。下文將藉由物理模型與三角函數,傳授你下雨天的跑步密技。(責任編輯:郭家宏)

如果有一天下雨了,你剛好沒有帶傘,也沒有地方避雨,那麼你會選擇在雨中漫步,還是奔跑呢?

這是一個古老的問題,引起了全世界的數次討論。中央電視臺《加油!向未來》節目還做了實驗,得出跑步淋雨少的結論;《流言終結者》也做了實驗,而且進行兩次,居然得到了相反的結果。

原因在於這個問題在實際中影響的因素非常多,例如雨量、風速、人的速度、人的表面積和形狀等,都會影響實驗結果。尤其是如果雨滴下落時不均勻,隨機性就會變得更大。

分析之前,先建立物理模型

我在這裡基於簡單的物理模型做一個分析。所謂物理模型就是從一個實際的複雜問題中,抽象出最核心的內容,忽略其他不重要的影響因素。例如研究地球圍繞太陽運動,就把地球視為一個點,而不去理會地面上的山川、河流,這就是質點模型。做為一個模型,必須給出一些假設,雖然這些假設可能與實際情況並不完全相同。

假設 1:雨是均勻且無限小,而且各處密度均勻,單位體積內雨的質量為 ρ。
假設 2:沒有風,雨滴勻速下落,速度為 v。
假設 3:人勻速運動,運動的速度為 u。
假設 4:把人的身材視為長方體,身體前方的面積為 S1,頭頂的面積為 S2。
假設 5:人的目標是從 A 地到達相距 L 的 B 地。

有了以上假設,我們就可以進行計算了。人在雨中向前運動,頭頂會淋雨, 前面也會淋到雨,我們要分別計算這兩部分。

以人為參考坐標系,計算落在身上的雨滴總量

首先要研究的是空間中哪些雨落在了人的身上,如果選取地面做為參考系的話,人在運動,雨也在運動,問題會比較複雜,我們可以換一個參考系——以人為參考。這樣一來,人就可以視為靜止不動,而雨滴在豎直方向具有下落的速度 v,在水平方向具有相對於人向後的水平速度 u,雨滴相對於人就是斜向下運動,如下圖所示:

人在從 A 地到 B 地的過程中,雨滴相對於人向斜下方等速直線運動,能夠落到人身上的雨滴(忽略人頭頂的一個小三角形)都在他斜前方一個柱體內,如下圖中的 ACDE 部分。這些雨滴會朝著人奔跑,最終撞到人身上。

這是一個斜柱體,它的底面積是人迎接雨滴的截面積 S,如圖中 AE 部分所示。而柱體的高是 AB 之間的距離 AB=L。根據柱體體積公式得到雨滴體積 V=SL,單位體積的雨滴質量為 ρ,於是最終落到人身上的雨滴的總量為:m=ρSL。

跑步速度越快,淋到的雨越少

如何才能淋到更少的雨呢?

顯而易見,無論以多大速度奔跑,AB 之間的距離 L 是固定的。當奔跑速度不同時,雨滴相對於人的速度不同,因而柱體的傾斜程度不同,截面積 S 也不同。

如上圖所示,如果人的奔跑速度比較大,雨滴相對於人速度更接近水平,這樣人迎接雨滴的截面積為 AF 部分;如果人的奔跑速度比較小,雨滴相對於人速度方向更加豎直,人迎接雨滴的面積是 AE 部分。

顯然,柱體 AFIH 和柱體 AEDC 的高相同,但是 AF 部分面積更小,柱體體積更小,柱體中的雨質量更小,即人以更大速度奔跑時,淋雨少。如果人以無限大的速度奔跑,則雨滴一點也不落到頭頂,而是全部落在人的身體前側面。

調整跑步的姿勢,可以讓你淋到更少的雨

如果人已經達到最大奔跑速度,還有沒有可能繼續減少淋雨呢?

其實還有辦法,因為人的頭頂面積小於身體前面的面積,我們可以讓身體傾斜過來迎接雨滴,這樣就可以使人迎接雨滴的面積進一步減小,雨柱體變得更細。

如果要獲得最小的迎接雨的底面積,就應該完全用頭頂面積迎接雨,此時人的傾斜程度應該與雨相對於人的速度方向平行。如上圖所示,這個夾角用三角函數表示就是:

例如人的奔跑速度和雨滴下落的速度相同時,人向前傾斜 45 度角最佳。

綜上所述,在一定的模型條件下,人以盡量大的速度奔跑,並且使身體向前傾斜,可以使落到身上的雨滴減少。如果可以精巧地調整身體的角度,使得總是只有頭頂迎接雨滴,那麼只需要一小塊擋住腦袋的荷葉,就可以保證身上一點水都沒有。

(本文書摘內容出自《跟著網紅老師玩科學》,由 時報出版 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題。首圖來源:Flickr CC Licensed。)

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