【世上最簡單的公式】歷代數學家們怎麼解釋:為什麼 1 加 1 等於 2?

【為什麼我們要挑選這篇文章】嚴格來說,人類所有文明很大都建構在數學上。而幾乎所有數學公式、複雜的理論都建構在世界上最簡單的公式上,1+1=2。

這個看似簡單卻深不可測的數學公式是怎麼來的?歷史上的數學家會怎麼解釋 1 加 1 為什麼等於 2?(責任編輯:陳伯安

本文經授權轉自公眾號量子學派( IDquantumschool)本文作者:李卍

發現世界上最簡單的公式 1+1=2,意味著什麼?

這個連三歲小孩都能秒懂的公式是人類文明誕生的起點,它昭示著自然數的誕生,引發持續數千年的數字大爆炸。數學創生的全部基本公理都蘊含其中。

而它究竟從何而來,又將引領人類向何而去?

人生識字憂患始,人類的所有煩惱,也是不是因為知道了  1+1=2 呢?

人類開始注意到數學的「可加性」

早在 遠古時代,我們的老祖先就在儲藏獵物、分配食物時,逐漸產生對數的感覺。

當  2 隻 牛、 3 隻 羊、 5 隻 豬擺在一塊,只有這些東西可過冬時,強烈的求生欲使老祖先朦朧地意識到這其中有一種共性,並開始擺弄著自己僅有的  10 隻 手指計數。然而,從這種原始的抽象感覺到具體的「數」的概念的形成,卻經歷了極其漫長的歷史歲月。

因此,當某位古代先祖第一個意識到「 1+1=2」,從而認識到兩個數相加得到另一個確定的數時 ,就發現了「數學」一個非常重要的性質 ——可加性,這是人類文明史上一個極其偉大的時刻

如同鑽木取火, 1+1=2 的最初使用也僅是迫不得已地為了生存,兩者同樣至少有著  30 萬年的歷史,造福人類,但自然數的形成卻 遠比火的誕生有深遠影響。

1+1=2,關於這個公式,最直觀涉及到的就是自然數和加法。

我們已經無法考證,加法究竟是在何時被人類發明的,因為沒有足夠詳細的文獻記錄,甚至可能沒有文字。但加法的出現, 無疑是為了在交換商品或戰俘時進行運算

+、- 與自然數的出現

據說,當時酒商在售出酒後,曾用橫線標出酒桶里的存酒,而當桶里的酒又增加時,便用竪線條把原來畫的橫線划掉,於是就出現用以表示減少的「-」和用來表示增加的「+」。 最後直到  1630 年,「+」作為運算符號才得到大家的公認。

而關於自然數的出現,卻比「+」、「-」開始地更早,大約在  萬年以前,冰河退卻了。石器時代,那些馬背上的遊牧狩獵者,在中東的山內悄悄地開始了一種新的生活。他們摒棄掉凶橫獵 殺的本性,開始乖乖下田,播種,進行農耕,這時,如何記錄日期、季節,如何計算收藏穀物數、種子數可難為住了這群四肢發達的壯漢。

特別是在尼羅河谷、底格里斯河與幼發拉底河流域,還發展起了更複 雜的農業社會,這群剛進入新時代的農民還遇到了交納租稅的問題。 顯然,過去石器部落文化里總結的 「一」、「二」、「三」、「多」已 遠遠不夠用了, 人們迫切需要「數」有名稱,而且計數必須更準確些。

然而,沒有人見過自然數,也沒有人知道它是怎麼排列分布的。

它是用以計量事物的件數或表示事物次序的數,它的分布或許是兜兜轉轉一個圈,或許是螺旋交錯纏繞式,或許是放射爆炸發散式的,不同選擇就會有不同的數學世界。但 最終數學世界最後選擇的是 12345……」這樣一個不可逆的直線式的有序體系。

圖 1-1

皮亞諾怎麼用五個理論生出:1+1=2

我們都知道  1+1=2,但你是否有想過為什麼 1+1 就等於  呢?

這個問題,不去深思還好,一深思就像雞生蛋還是蛋生雞這個難題一樣,會把你繞得雲里霧裡,好在總會有那麼幾位具有哲學思維的數學家愛孜孜不倦地去思考、證明它。

而在這其中, 意大利數學家皮亞諾用理論把自然數安放在了數學世界裡面,用五條公理建立了一階算術系統 ,可以用來推導出「1+1=2」這一數學世界的原點。

理論一 是自然數。

茫茫的數學宇宙里,如圖 所示,從此有了第一個身影存在 —— 0

圖 1-2

理論二 :每一個確定的自然數 a,都有一個確定的後繼數 a’a’ 也是自然數。

那麼,這個自然數起點「 0」是怎麼爆發的呢?後繼陪伴者會以什麼樣的形式出現?調皮地圍著 四處發散,或是偷偷地跑到  的後面,亦或是狠心地留  一個數在那?

理論二 做出了選擇,讓偌大的數學空間中,出現的每個數都擁有著一個確定的後繼數陪伴著自己,如圖

圖 1-3

理論三 不是任何自然數的後繼數。

為了避免後繼者不守規矩跑到  的跟前,公理  確定了  必須也只能是自然數的第一個數。但是防不勝防,這群後繼者可能也沒那麼安分,他們還可能因為同一個姑娘爭風吃醋。也就是說,有可能  的後繼數  3′ = 3,也可能 的後繼數 2′ = 3。如下圖 1-4,出現這種情況:

圖 1-4:不同的自然數有不同的後繼數。

理論四: 為避免上述情況,公理  趕忙著出來定義,如果  與  均為自然數且  n ≠ m,那麼 n’ ≠ m’;如果 b均為自然數,且  b’ = c’ ,那麼 b = c;同一個自然數的後繼數相等,不同自然數的後繼數不相等,這樣,就不可能既是  的後繼數,也是  的後繼數了。但如果出現圖裡  2.5 這樣的數呢?

圖 1-5

為了除掉  2.5 這樣非自然數的出現,理論五出現了

理論五:假定  P(n)是自然數的一個性質,如果  P(0)是對的,且假定  P(n)是正確的,則  P(n’)也是真的,那麼命題對所有自然數都為真。

它還有另外一種形式:設  是自然數集的一個子集,且滿足( i)0 屬於  S;(ii)如果 n屬於 S,那麼 n’ 也屬於  S;則 是包含全體自然數的集合,即 S = N

這裡的說法可能會有點「繞」,讀者可能不是很理解。具體細剖,這是數學中的歸納公理,也就是說如果有一個自然數的性質,那麼所有自然數都將滿足這個性質,不滿足的就不是自然數。這樣,我們可以定義自然數系:存在一個自然數系 N,稱其元素為自然數,當且僅當這些元素滿足理論一至五

再定義加法是滿足以下兩種規則的運算:

1. 對於任意自然數 m0 + m = m

2. 對於任意自然數  和 nn’ + m = (n + m)’

這樣,我們就可以證明 1+1=2

1 + 1 = 0′ + 1 = (0 +1)’ = 1′ = 2

或者,1 + 1 = 0′ + 0′ = 0” = 2

或者,因為  1+1 的後繼數是  的後繼數的後繼數,即  3;又因為 的後繼數也是 3,根據皮亞諾理論 4,不同自然數的後繼數不同,所以 1+1=2

這樣,根據皮亞諾五個理論建立起來的皮亞諾一階算術系統,我們就推導出了 1+1=2

用「哥德巴赫猜想」推導 1+1=2

另一個「(1+1)」

推導出  1+1 為什麼等於 2,並不能為難那些腦路清晰,異於常人的數學家們。怎麼解決世間另一個「1+1」,這才是這群數學家的心頭痛。

哥德巴赫猜想,是數學皇冠上一顆可望不可即的「明珠」,堪稱世界近代三大數學難題之一。

大概在  18 世紀左右,德國一富家子弟哥德巴赫,厭倦了錦衣玉食的生活,不顧家人阻攔,偏要跑去一名中學教師,還從此一髮不可收拾地愛上數學,就連晚上回家休息,也在搗鼓著阿拉伯數字。而他生平最喜歡玩的遊戲竟是加法運算,而且還在玩加法遊戲的過程中發現了一個奧妙:任何大於  的奇數都是三個素數之和。

但令他無奈的是,他越玩越失敗,怎樣也無法證明自己的發現。後來,只能求助於當時數學界的權威大咖歐拉。

1742 年  月  日,哥德巴赫寫信給歐拉,提出:任何大於  的奇數都是三個素數之和。隨便取個奇數  77,可寫成三個素數之和,77=53+17+7;再任取一個奇數 461461=449+7+5,也是三個素數之和,461 還可以寫成 257+199+5,仍然是三個素數之和。

沒想到獨眼巨人歐拉居然也被這個問題給為難住了, 1742 年  月  30 日,歐拉給哥德巴赫回信:這個命題看來是正確的,但是他也給不出嚴格的證明。為了輓回下自己居然也給不出證明的面子,狡猾的歐拉同時還提出了另一個等價命題:任何一個大於 2的偶數都是兩個素數之和。但這個命題他也沒能給予出證明。

而這樣一個「任一充分大的偶數,都可以表示成為一個素因子個數不超過  個的數,與另一個素因子不超過  個的數之和」命題,就被統記作「 a+b」,哥德巴赫猜想(也稱哥德巴赫 歐拉猜想),也就被稱為另一個「(1+1)」

1、0 的神奇奧妙

在德國圖靈根著名的郭塔王宮圖書館,有一份彌足珍貴的手稿,它的標題為:

與 0,一切數字的神奇淵源。這是造物的秘密美妙的典範,因為,一切無非都來自上帝。」

這是德國天才大師萊布尼茨的手跡,他用幾頁異常精煉的描述,發明瞭一個神奇美妙的數字系統 ——二進制,他告訴我們,1 + 1 ≠ 2,在電腦代碼世界里,1 + 1 = 10

二進制是計算技術中廣泛採用的一種數制。二進制數據是用  和  兩個數碼來表示的數。它的基數為 2,進位規則是「逢二進一」,借位規則是「借一當二」。當前的電腦系統使用的基本上就是二進制系統,數據在電腦中主要是以補碼的形式存儲的。

可以說,從  20 世紀第三次科技革命爆發以來,人類就開始進入了電腦時代,我們在虛擬的網絡里遊戲、社交、狂歡。到現在  21 世紀,開始致力於人工智慧的開發,而這些東西本質上都是由電腦實現的。

而未來,完全身處於數字時代的我們,必將被二進位程式碼全身籠罩,這個世界, 1+1 就只可能等於  嗎?

不管是現實生活中簡明易懂的 1 + 1 = 2,或是數論世界里令人絞盡腦汁的「1 + 1」,還是虛擬世界里的 1+1=10,都以其自身的客觀性和普適性在時間的歲月里不證自明,讓人類能以其為始,在接受這些公式和定理的條件下,繼續用理性的方法推導衍生出萬事萬物。並在萬事萬物中,能輕易地窺視其蹤跡。

欲罷不能的王者榮耀是由  和  的程式碼寫運行;

置放蘋果的天秤則完全滿足可加性的量;

總質量總是等於每個物體的質量之和;

1+1=2 撐起了人類理性世界的基本運轉,跨越人類文明始終,不需要名稱,不需要翻譯,也不需要解釋。

它無處不在,藏匿於天地之間,本身就擁有著妙不可言的美感。

本文轉自公眾號 量子學派——專注於自然科學領域(數理哲)的内容平台

(本文經原作者 量子學派 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題,原文標題為 〈1+1=2:数学的原点 ,首圖來源:Pxhere, CC Licensed〉。)

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