一頁 PPT、45 分鐘演講,159 年無人能解的「黎曼猜想」終於要被證實了?

黎曼難題 數學 方程式 破解

【我們為什麼挑選這篇文章】黎曼猜想是世界數學七大難題之一。歷經 159 年、上萬數學家挑戰仍無堅不摧,2018 年 9 月底,一位麥可·阿蒂亞爵士用一張 PPT 證明了黎曼難題。

黎曼猜想在數學界的重要性為何?證實黎曼猜想為何會引起世界一面瞠目結舌呢?(責任編輯:陳伯安)

德國柏林時間 9 月 24 日上午 9 點 45 分,菲爾茲獎與阿貝爾獎雙料得主、英國皇家學會院士麥可·阿蒂亞爵士在德國海德堡舉行的海德堡獎諾貝爾獎獲得者論壇上,講述了他對黎曼猜想的證明。

影片來源:Youtube

一頁 PPT、20 分鐘,證明黎曼難題

在論壇上,阿蒂亞爵士的演講時間為 45 分鐘,其中 25 分鐘在回顧歷史,而證明只有一頁 PPT。關於證明方法,他在演講中表示,中心的證明方法是反證法。證明的關鍵點是引入了 TODD 函數。

這次證明,學界的質疑聲比較高。因為無論是演講中的證明介紹,還是貼出的 5 頁預印本都沒有能拿出令人信服的證明。

主要是兩個方面,一個是 TODD 函數,這個函數是老爵士自己新建立的,在預印本中寫到,因為過程太複雜,所以就不展開講了。另一個是他提到的精細結構常數 α,這個常數是物理學領域中的應用,且是一個浮動的數值。簡單來說,他所用到的常數,在學界也沒有得到完全的證明。另外,他關於精細結構常數的相關論文尚未通過同行審議。

但是也有學者表示阿蒂亞爵士的思路或為後續黎曼猜想證明提供了一種新思路。

文末給出了網傳老爺子的證明複印本,注意這份複印本資料沒出現在官方渠道上,也沒有權威人士確認這份資料的真實性,真假還無法辨認。

「黎曼猜想」是數學七大難題之一,每一題都值 3,000 萬台幣

今年的 9 月份,菲爾茲和阿貝爾獎得主邁克爾·阿蒂亞爵士宣稱自己了證明黎曼猜想,並在 9 月 24 日海德堡獲獎者論壇上宣講。

消息一出舉世震驚,因為黎曼猜想自 1859 年提出以來,到今天已有一百五十多年的歷史了,這期間一直都沒有解決。這一猜想也被列為世界 7 大數學難題之一。另外六個難題是 NP 完全問題、霍奇猜想 、龐加萊猜想、楊-米爾斯存在性和質量缺口、納衛爾-斯托可方程 、BSD 猜想。這七大難題都被懸賞一百萬美元(約 3,000 萬台幣)。

這個百萬懸賞項目是 2000 年 5 月的時候,美國克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute, CMI)設立的一個「千禧難題」的數學問題挑戰。

當然,不是隨隨便便就能宣稱「我證明了難題」,題解必須發表在國際知名刊物上,並且要通過 2 年的驗證期和專家小組的審核。

現在只有龐加萊猜想被證明,證明者是俄羅斯數學家 格里戈里·佩雷爾曼。

黎曼猜想所以被認為是當代數學中一個重要的問題,主要是因為很多深入和重要的數學和物理結果都能在它成立的大前提下被證明。大部分數學家也相信黎曼猜想是正確的。

對這一高大上的理論證明看起來和我們的生活沒有什麼關係。在這文摘菌(作者)想借用馬雲在阿里巴巴 雲棲大會 演講上的一句話:沒有數學為基礎,科學就沒有基礎。

無論是阿里巴巴設立達摩院青橙獎和全球數學競賽,還是黎曼猜想被證明的消息震驚世界,其實都在說明一個問題,即業界和學界對數學越來越看重。

何謂黎曼猜想?

讓我們看一下黎曼猜想:

這個函數表達式中,s 的實部大於 1,如果實部小於 1,那麼這個級數是不收斂的。另外 n 取邊所有的正整數。

這個猜想是:黎曼函數 ζ(s)的全部非平凡零點,全部位於實部為 1/2 的一條直線上

這裡的平凡零點是 某個三角  sin 函數的週期零點;非平凡零點是  Zeta 函數自身的零點。

那麼黎曼猜想和素數的分布又有什麼關係呢?讓我們來看它另一個變形公式:

這個公式是歐拉乘積的形式,已經得到了證明

公式中的 P 為素數,又稱為質數,是指大於 1 的自然數中,除了 1 和它本身以外不再有其他因數。例如 3、7、11 等數。

結合方程與根的關係,這就意味著,這個公式蘊涵著有關素數分布的重要信息。

沒錯,這就是黎曼函數的零點和素數分布聯繫到一起的根源。

所以,黎曼猜想最主要是解決素數分布的問題,數學界在之前一直認為自然界中素數的分布,肯定有著一種規律,但是這種規律只是目前還沒有被發現而已。黎曼猜想等於是在說,素數最大的規律,就是沒有什麼突出的規律,素數的分布完全是完全隨機。

大學修過概率論與數理統計的同學應該知道, 在隨機事件的大量重復出現中,往往呈現幾乎 必然 的規律,這個規律就是大數定律。通俗地說,這個定理就是,在試驗不變的條件下,重復試驗多次,隨機事件的頻率近似於它的概率。大數定律將頻率和概率聯繫了起來,偶然中包含著某種必然。

所以,黎曼猜想意味著,素數的分布必然也遵循著大數定律!!!

在這裡也說明一下,隨機和分布滿足一定的規律並不矛盾。例如你投擲枚硬幣,出現正面和反面的情況是完全隨機的,但是出現在正面或者反面的概率趨於 1/2。

黎曼猜想為何拖了 159 年才被破解? 

為什麼黎曼猜想經過了 159 年,且無數科學家為之奮鬥都沒有證明?

這個猜想證明的難點在於主項是集合概念的命題是無法證明的,因為集合概念的每一個個體不是必然具有這個概念的基本屬性。就決定了必須一個個去證明。

這就是說,必須對每一個零點都進行證明,在沒有計算機之前,對於這種計算都是人工來算,計算機出現之後,人力得到解放,計算能力也大大提高,現在最新的成果是法國團隊 最新的成果是法國團隊用改進的算法,將黎曼 Zeta 函數的零點計驗證了前 10 萬億個,仍然沒有發現反例。

雖然相比於最初哈代的學生 1041 個的計算記錄,10 萬億個零點的驗證是巨大的飛躍,也更能夠堅定人們對黎曼猜想的信任。但是,10 萬億相對於無窮大,仍然沒有絕對的說服力。

而採用分析思路證明的最佳的成果也只是證明了 41.28% 的非平凡零點分布在「臨界線」上。

黎曼猜想是上千數學定理的基礎,被推翻就等於炸毀一棟數學大厦地基

在一些頂級數學難題中,大家所熟悉的費馬猜想(現在已經被證明了,所以是費馬大定理了)和哥德巴赫猜想。

這是因為,費馬大定理和哥德巴赫猜想的題目容易理解,即擁有中學數學的基本知識就能理解。費馬大定理的數學表示是:n >2 時,關於 x, y, z 的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。哥德巴赫猜想是 :任一大於 2 的偶數都可寫成兩個素數之和。正是如此簡單的數學表達,才能有如此深遠的傳播度。

皮埃爾·德·費馬

費馬大定理的證明,歷經三百多年。期間為了證明這個法國律師和業餘數學家提出的問題,無數的數學家為之努力,極大的推動了數學的發展。例如有人說數論中算術代數幾何的這一數學分支的產生就是為了證明費馬大定理。所以費馬大定理當之無愧是數學界的「會生金蛋的母雞」。

而在學界,學者公認的是黎曼猜想比費馬大定理的數學地位更重要。因為一個半世紀以來,人們在假設黎曼猜想成立的情況下,以它作為基石,已經建立了一千多條定理,並且打造了無比輝煌的數論大廈。然而一旦黎曼猜想找到反例被證偽,這些精美的大樓就會如空中樓閣一樣曇花一現,最終崩塌,給數論帶來災難性的結果。

黎曼猜想連動科學各界:數學、密碼學、物理學等

還有一個是因為黎曼猜想研究的素數與密碼的加密有著非常重要的關係。而加密無論是銀行數據還是國家機密,還有號稱最安全的區塊鏈技術都會用到。

有些加密技術與大數分解有關。而大數分解加密採用的更多是素數分解。例如 100 這個數字,如果給你 2*2*5*5 這個公式,你很容易想到他的結果是 100,但是如果直接給你 100 呢,他可以分解成的因子就會有很多,例如 10*10、2*5*10。100 這個數字可能很容易把結果窮舉,但是如果這個數值是 123587136412……. 呢?所以黎曼猜想被證明對於素數加密領域也會非常大的震動。

另外, 最出人意料的, 是黎曼猜想的重要性不僅是在數學領域, 而對於物理學也非常重要 1972 年, 人們發現與黎曼猜想的相關研究(孿生質數對在數軸上的分布規律)與多粒子系統在相互作用下,能級分布規律的函數有著顯著關聯。 這種關聯的原因直到今天也還是一個謎。 但是在黎曼猜想與物理學的關係,

無疑就進一步增加了黎曼猜想的重要性。

(本文經合作夥伴 大數據文摘 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題,原文標題為 〈1 页 PPT、3 分钟演讲,89 岁阿蒂亚爵爷的黎曼猜想证明是闹剧还是天才?〉。)

延伸閱讀

賭博=莊家必贏!用國中數學解析賭博方程式,結論只有「賭徒勝率為 0%」
【哥學的不是邏輯,是深度】讀完 6 本數學書,讓你深度與眾不同
看歷史學數學:原來勾股定理是周公提出的?


遠端工作免費資源在這!

高品質線上會議工具,簡單 3 步驟註冊免費體驗

馬上註冊

點關鍵字看更多相關文章: